Question

16．在三角形△ABC中，角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，acosB+bcosA=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ctanB
①求B的大小    
②若b=2，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）利用正弦定理，边化角的思想，根据和与差的公式，可得B的大小；
（2）根据余弦定理建立关系，利用基本不等式的性质，可得△ABC面积的最大值．

解答 解：（1）由题意，acosB+bcosA=$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$ctanB
根据正弦定理，可得：sinAcosB+sinBcosA=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinC•tanB
sinC=$\frac{\sqrt{3}}{3}$sinC•tanB
∵0＜C＜π，sinC≠0，
∴tanB=$\sqrt{3}$
∵0＜B＜π，
∴B=60°
（2）∵b=2，B=60°，
余弦定理可得：$\frac{1}{2}$=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-4}{2ac}$，可得ac=a²+c²-4，
即ac+4≥2ac，可得ac≤4
△ABC面积S=$\frac{1}{2}$acsinB≤$\frac{1}{2}×4×\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$
∴△ABC面积的最大值为$\sqrt{3}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理以及基本不等式的性质的运用．属于基础题．