Question

3．已知抛物线y²=4x的焦点为F，准线与x轴的交点为M，过F且倾斜角为锐角的直线l与抛物线交于A、B两点，若∠AMB=60°，则直线l的斜率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{3}$
• B． 1
• C． $\frac{\sqrt{2}}{2}$
• D． $\sqrt{3}$

Answer 1

分析 设AB方程y=k（x-1），与抛物线方程y²=4x联立，利用tan∠AMB=$\sqrt{3}$，建立k的方程，求出k，即可得出结论．

解答 解：焦点F（1，0），M（-1，0），设AB方程y=k（x-1），
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
∵∠AMB=60°，∴tan∠AMB=$\sqrt{3}$，
∴$\frac{\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}-\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}}{1+\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+1}•\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+1}}$=$\sqrt{3}$，
整理可得2k（x₁-x₂）=$\sqrt{3}$（x₁+1）（x₂+1）+$\sqrt{3}$y₁y₂…（*）
y=k（x-1），与y²=4x联立可得k²x²-（2k²+4）x+k²=0
可得x₁x₂=1，x₁+x₂=$\frac{4}{{k}^{2}}$+2，y₁y₂=-4
代入（*）可得2k（x₁-x₂）=$\sqrt{3}$•$\frac{4}{{k}^{2}}$，∴x₁-x₂=$\frac{2\sqrt{3}}{{k}^{3}}$，
∴（$\frac{4}{{k}^{2}}$+2）²-4=（$\frac{2\sqrt{3}}{{k}^{3}}$）²，
∵k＞0，∴k=$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
故选：C．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查差角的正切公式，正确运用韦达定理是关键．