题目内容

18．在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=$\frac{{2\sqrt{6}}}{7}$．若动点P满足$\overrightarrow{AP}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2λ}{3}$$\overrightarrow{AC}$，（λ∈R），则点P的轨迹与直线BC，AC所围成的封闭区域的面积为（　　）
A．5B．10C．2$\sqrt{6}$D．4$\sqrt{6}$

分析 根据向量加法的几何意义得出P点轨迹，利用正弦定理解出AB，得出△ABC的面积，从而求出围成封闭区域的面积．

解答 解：设$\overrightarrow{AD}$=$\frac{2}{3}\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AP}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+$\frac{2λ}{3}$$\overrightarrow{AC}$=（1-λ）$\overrightarrow{AB}$+λ$\overrightarrow{AD}$
∴B，D，P三点共线．
∴P点轨迹为直线BC．
在△ABC中，BC=7，AC=6，cosC=$\frac{{2\sqrt{6}}}{7}$，
∴sinC=$\frac{5}{7}$
∴S△ABC=$\frac{1}{2}$×7×6×$\frac{5}{7}$=15，
∴S△BCD=$\frac{1}{3}$S△ABC=5．
故选：A

点评 本题考查了平面向量线性运算的几何意义，正弦定理解三角形，属于中档题．

练习册系列答案
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A．$\frac{4π}{3}$B．$\frac{2π}{3}$C．$\frac{π}{3}$D．$\frac{π}{4}$
7．若一个圆锥的侧面展开图是面积为2π的半圆面，则该圆锥的母线与轴所成的角为（　　）
A．30°B．45°C．60°D．75°

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