Question

函数f（x）=

x-1

x+1

，设f₁（x）=f（x），f₂（x）=f[f₁（x）]，﹒﹒﹒f_n（x）=f[f_n-1（x）]，（x∈N₊，N≥2），令集合M={x|f₂₀₀₈（x）=x²，x∈R}则集合M为（　　）

• A、φ
• B、实数集
• C、单元素集
• D、二元素集

Answer 1

考点：函数的值

专题：函数的性质及应用

分析：由已知得f（x）=

x-1

x+1

=1-

2

x+1

，f₂（x）=-

1

x

，f₃（x）=

1+x

1-x

，f₄（x）=x，f₅（x）=f（x）=

x-1

x+1

，从而得到f₂₀₀₈（x）=f₄（x）=x，由此能求出集合M为二元素集．

解答： 解：∵f（x）=

x-1

x+1

=1-

2

x+1

，∴f₂（x）=1-

2

f(x)+1

=1-

x+1

x

=-

1

x

，
f₃（x）=

1+x

1-x

，f₄（x）=x，f₅（x）=f（x）=

x-1

x+1

，
∴f_n（x）是以4为周期，∴f₂₀₀₈（x）=f₄（x）=x，
∴集合M={x|f₂₀₀₈（x）=x²，x∈R}={x|x=x²}={0，1}．
∴集合M为二元素集．
故选：D．

点评：本题考查函数的性质及应用，是基础题，解题时要认真审题，注意函数的周期性的合理运用．