Question

3．已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，cosC+$\sqrt{3}$sinC=$\frac{b+c}{a}$；
（1）求A；
（2）若a=$\sqrt{3}$，求△ABC面积的最大值．

Answer 1

分析 （1）根据两角和差的正弦公式以及正弦定理进行化简即可，求∠A的大小；
（2）根据余弦定理和基本不等式以及三角形的面积公式即可求出答案．

解答 解：（Ⅰ）∵cosC+$\sqrt{3}$sinC=$\frac{b+c}{a}$，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sinB+sinC，
∴sinAcosC+$\sqrt{3}$sinAsinC=sin（A+C）+sinC
∴$\sqrt{3}$sinAsinC=cosAsinC+sinC，
∵sinC≠0，
∴$\sqrt{3}$sinA=cosA+1
∴sin（A-$\frac{π}{6}$）=$\frac{1}{2}$，
∵A∈（0，π），
∴A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{5π}{6}$），
∴A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{6}$，
∴A=$\frac{π}{3}$；
（2）∵a=$\sqrt{3}$，A=$\frac{π}{3}$，由余弦定理可得a²=b²+c²+2bccosA，
∴3=b²+c²+bc≥2bc+bc=3bc
∴bc≤1，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA≤$\frac{1}{2}$×1×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{3}}{4}$，
故△ABC面积的最大值为$\frac{\sqrt{3}}{4}$

点评 本题考查了两角和差的正弦公式，以及三角函数的性质，以及正弦定理、余弦定理和三角形的面积公式和基本不等式，属于中档题．