Question

4．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n是2a与-2na_n的等差中项，其中a≠0．
（1）求数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃，并猜想数列的通项公式；
（2）利用（1）的猜想，若S₁₀=90，求实数a的值．

Answer 1

分析 （1）因为S_n是2a与-2na_n的等差中项，则S_n=a-na_n，由此求数列{a_n}的前三项a₁，a₂，a₃，并猜想数列的通项公式；
（2）若S₁₀=90，即S₁₀=a-10a₁₀=90，即可求实数a的值．

解答 解：（1）因为S_n是2a与-2na_n的等差中项，则S_n=a-na_n，…（2分）
由a₁=a-a₁，∴a₁=$\frac{a}{2}$；
由a₁+a₂=a-2a₂，∴a₂=$\frac{a}{2×3}$；
由a₁+a₂+a₃=a-3a₃，∴a₃=$\frac{a}{3×4}$；…（5分）
故猜想a_n=$\frac{a}{n（n+1）}$． （写出结果即可）…（7分）
（2）若S₁₀=90，即S₁₀=a-10a₁₀=90，…（10分）
解得a=99…（12分）

点评 本题考查的知识点是数列的求和以及归纳推理的常用法，属于中档题．在归纳中要注意项和序号之间的对应关系．