Question

15．在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2+tcosα\\ y=\sqrt{3}+tsinα\end{array}$（t为参数，其中0＜α＜$\frac{π}{2}$），椭圆M的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosβ\\ y=sinβ\end{array}$（β为参数），圆C的标准方程为（x-1）²+y²=1．
（1）写出椭圆M的普通方程；
（2）若直线l为圆C的切线，且交椭圆M于A，B两点，求弦AB的长．

Answer 1

分析 （1）由椭圆M的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosβ\\ y=sinβ\end{array}$（β为参数），利用cos²β+sin²β=1，即可得出椭圆M的普通方程．
（2）将直线的参数方程C代入圆的方程化为：${t^2}+（{2cosα+2\sqrt{3}sinα}）t+3=0$，由直线l为圆C的切线可知△=0，解得$α=\frac{π}{6}$，可得直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$，将其代入椭圆M的普通方程化为关于t的一元二次方程，利用根与系数的关系代入|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$即可得出．

解答 解：（1）由椭圆M的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=2cosβ\\ y=sinβ\end{array}$（β为参数），利用cos²β+sin²β=1，可得：椭圆M的普通方程为$\frac{x^2}{4}+{y^2}=1$．
（2）将直线的参数方程C代入圆的方程化为：${t^2}+（{2cosα+2\sqrt{3}sinα}）t+3=0$，
由直线l为圆C的切线可知△=0，即${（{2cosα+2\sqrt{3}sinα}）^2}-4×3=0$，解得$α=\frac{π}{6}$，
∴直线l的参数方程为：$\left\{\begin{array}{l}x=2+\frac{{\sqrt{3}}}{2}t\\ y=\sqrt{3}+\frac{1}{2}t\end{array}\right.$，
将其代入椭圆M的普通方程得$7{t^2}+24\sqrt{3}t+48=0$，
设A，B对应的参数分别为t₁，t₂，∴t₁+t₂=-$\frac{24\sqrt{3}}{7}$，t₁t₂=$\frac{48}{7}$．
∴|AB|=|t₁-t₂|=$\sqrt{（{t}_{1}+{t}_{2}）^{2}-4{t}_{1}{t}_{2}}$=$\frac{8\sqrt{6}}{7}$．

点评 本题考查了椭圆与直线的参数方程、直线与圆相切的性质、直线与椭圆相交弦长问题、直线参数方程的应用，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．