Question

14．如图，一简单几何体ABCDE的一个面ABC内接于圆O，AB是圆O的直径，四边形DCBE为平行四边形，且DC⊥平面ABC．若AC=BC=BE=2，
（1）BE边上是否存在一点M，使得AD和CM的夹角为60°？
（2）求锐二面角O-CE-B的余弦值．

Answer 1

分析 （1）以CB为x轴，CB为y轴，CD为z轴，建立如图所示的直角坐标系，求出点的坐标，利用直线之间的夹角转化为向量之间的夹角进行求解即可．
（2）设平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$，平面OCE的法向量$\overrightarrow{n}$．二面角O-CE-B是锐二面角，记为θ，利用空间向量的数量积求解cosθ即可．

解答 解：（1）以CB为x轴，CA为y轴，CD为z轴，建立如图所示的直角坐标系，
∵AC=BC=BE=2，∴CD=BE=2，
则C（0，0，0），B（2，0，0），A（0，2，0），O（1，1，0），E（2，0，2）
D（0，0，2），
设M（2，0，t），（0≤t≤2），
则$\overrightarrow{AD}$=（0，-2，2），$\overrightarrow{CM}$=（2，0，t），
若AD和CM的夹角为60°，
|cos＜$\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{CM}$＞|=|$\frac{\overrightarrow{AD}•\overrightarrow{CM}}{|\overrightarrow{AD}||\overrightarrow{CM}|}$|=|$\frac{2t}{\sqrt{4+4}•\sqrt{4+{t}^{2}}}$|=|$\frac{t}{\sqrt{2}•\sqrt{4+{t}^{2}}}$|=cos60$°=\frac{1}{2}$，
平方得t²=4，得t=2，
即M（2，0，2），即M位于E处时，AD和CM的夹角为60°．
（2）设平面OCE的法向量$\overrightarrow{n}$=（x₀．y₀．z₀）．则平面BCE的法向量$\overrightarrow{m}$=（0，1，0），
$\overrightarrow{CE}$=（2，0，2），$\overrightarrow{CO}$=（1，1，0）．
∴$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n}•\overrightarrow{CE}=0\\ \overrightarrow{n}•\overrightarrow{CO}=0\end{array}\right.$，则$\left\{\begin{array}{l}2{x}_{0}+2{z}_{0}=0\\{x}_{0}+{y}_{0}=0\end{array}\right.$，
令x₀=-1，∴$\overrightarrow{n}$=（-1，1，1）．
∵二面角O-CE-B是锐二面角，记为θ，则
cosθ=|cos$＜\overrightarrow{m}，\overrightarrow{n}＞$|=$\frac{\overrightarrow{m}•\overrightarrow{n}}{\left|\overrightarrow{m}\right|\left|\overrightarrow{n}\right|}$=$\frac{1}{1×\sqrt{3}}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查空间角的计算，根据异面直线所成角转化为向量之间的夹角以及求出平面的法向量利用向量法求二面角是解决本题的关键．注意向量法的应用．