Question

8．函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²+ax存在与直线3x-y=0平行的切线，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （0，+∞）
• B． （-∞，2）
• C． （2，+∞）
• D． （-∞，1]

Answer 1

分析 求函数的导数，根据切线和直线平行建立f′（x）=3在定义域上有解，利用参数分离法进行求解即可．

解答 解：直线3x-y=0的斜率k=3，
函数f′（x）的定义域为（0，+∞），函数的导数f′（x）=$\frac{1}{x}$+x+a，
若函数f（x）=lnx+$\frac{1}{2}$x²+ax存在与直线3x-y=0平行的切线，
则说明f′（x）=$\frac{1}{x}$+x+a=3，在（0，+∞）上有解，
即a=3-（$\frac{1}{x}$+x）在（0，+∞）上有解，
∵3-（$\frac{1}{x}$+x）≤3-2$\sqrt{x•\frac{1}{x}}$=3-2=1，当且仅当$\frac{1}{x}$=x即x=1时取等号，
∴a≤1，
故实数a的取值范围是（-∞，1]，
故选：D

点评 本题主要考查导数的几何意义的应用，根据存在性问题转化为f′（x）=3有解，以及利用参数分离法转化求最值问题是解决本题的关键．