Question

已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足：a₂·a₄＝65，a₁＋a₅＝18.

(1)若1<i<21，a₁，a_i，a₂₁是某等比数列的连续三项，求i的值；

(2)设b_n＝，是否存在一个最小的常数m使得b₁＋b₂＋…＋b_n<m对于任意的正整数n均成立，若存在，求出常数m；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：(1){a_n}为等差数列，∵a₁＋a₅＝a₂＋a₄＝18，

又a₂·a₄＝65，∴a₂，a₄是方程x²－18x＋65＝0的两个根，

又公差d>0，∴a₂<a₄，∴a₂＝5，a₄＝13.

∴

∴a₁＝1，d＝4.∴a_n＝4n－3.

由1<i<21，a₁，a_i，a₂₁是某等比数列的连续三项，∴a₁·a₂₁＝a，

即1·81＝(4i－3)²，

解得i＝3.

所以存在m＝使b₁＋b₂＋…＋b_n<m对于任意的正整数n均成立．