Question

20．已知a＞1，f（x）=x²-a^x，当x∈（-1，1）时，均有f（x）＜$\frac{2}{3}$，则实数a的取值范围是（　　）

• A． （1，2）
• B． （1，3]
• C． （1，$\frac{3}{2}$）
• D． （1，2]

Answer 1

分析 利用函数的单调性求f（x）在x∈（-1，1）的值域，根据f（x）＜$\frac{2}{3}$建立关系，可得a的范围．

解答 解：∵a＞1，函数y=-a^x是减函数，
当x∈（-1，1）时，函数y=x²在（-1，0）时单调递减，在（0，1）单调递增，
∴f（x）=x²-a^x在x∈（-1，1）的值域为（-1，1-$\frac{1}{a}$），即1$-\frac{1}{a}$$≤\frac{2}{3}$，
解得：a≤3．
∴实数a的取值范围是（1，3]
故选B．

点评 本题考查了复合函数的值域的求法，利用值域范围来解参数的范围问题．属于基础题．