Question

6．已知f（x）为偶函数，且f（x）=f（x-4），在区间[0，2]上，f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-\frac{3}{2}x+5，0≤x≤1}\\{{2}^{x}+{2}^{-x}，a＜x≤2}\end{array}\right.$，g（x）=（$\frac{1}{2}$）^|x|+a，若F（x）=f（x）-g（x）恰好有4个零点，则a的取值范围是（　　）

• A． （2，$\frac{19}{8}$）
• B． （2，3）
• C． （2，$\frac{19}{8}$]
• D． （2，3]

Answer 1

分析 由函数f（x）为偶函数且f（x）=f（x-4），则f（x）=f（-x），函数的周期为4，求得在区间[-2，0]上，f（x）的解析式，作出f（x）和g（x）的图象，通过平移，即可得到所求a的范围．

解答 解：由函数f（x）为偶函数且f（x）=f（x-4），
则f（x）=f（-x），函数的周期为4，
则在区间[-2，0]上，有f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}+\frac{3}{2}x+5，-1≤x≤0}\\{{2}^{x}+{2}^{-x}，-2≤x＜-1}\end{array}\right.$，
分别作出函数y=f（x）在[-2，2]的图象，
并左右平移4个单位，8个单位，
可得y=f（x）的图象，再作y=g（x）的图象，注意上下平移．
当经过A（1，$\frac{5}{2}$）时，a=$\frac{5}{2}-\frac{1}{2}$=2，
经过B（3，$\frac{5}{2}$）时，a=2，5-$（\frac{1}{2}）^{3}$=$\frac{19}{8}$．
则平移可得2＜a＜$\frac{19}{8}$时，图象共有4个交点，即f（x）-g（x）恰好有4个零点，
故选：A．

点评 本题考查函数的零点的求法，注意运用图象的交点，掌握图象平移和数形结合的思想方法是解题的关键．