Question

定义在区间d上的连续函数y=f（x），若满足对任意的m，n∈d，m＜n，总有f（m）+kn＜f（n）+km成立，则称y为斜k度函数，已知函数f（x）=alnx+x²-（a-1）x为斜一度函数，则a的取值范围为

 

．

Answer 1

考点：利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：导数的综合应用

分析：由k=1，得到f（m）-f（n）＜m-n＜0，进一步得到函数f（x）为增函数，求出原函数的导函数f′(x)=

2x2-(a-1)x+a

x

，分母恒大于0，令g（x）=2x²-（a-1）x+a，分其对称轴在y轴左侧和右侧两种情况讨论，对称轴在y轴左侧时，函数在[0，+∞）上单调递增，只需g（0）=a≥0，对称轴在y轴右侧时，则需△≤0成立即可．

解答： 解：函数f（x）=alnx+x²-（a-1）x为斜一度函数，
即k=1，对任意的m，n∈d，m＜n，总有f（m）+kn＜f（n）+km成立，
即f（m）+n＜f（n）+m，也就是f（m）-f（n）＜m-n＜0，
∴

f(m)-f(n)

m-n

＞0，则f（x）=alnx+x²-（a-1）x为（0，+∞）上的增函数，
∴f′(x)=

a

x

+2x-(a-1)=

2x2-(a-1)x+a

x

≥0在x＞0时恒成立，
令g（x）=2x²-（a-1）x+a，对称轴方程为x=

a-1

4

．
当对称轴在y轴左侧或y轴时，即

a-1

4

≤0，a≤1，只需g（0）=a≥0，则0≤a≤1；
当对称轴在y轴右侧时，即

a-1

4

＞0，a＞1，
g（x）开口向上，则需图象与x轴至多有一切点，
即△=[-（a-1）]²≤0，解得：5-2

6

≤a≤5+2

6

，
∴1＜a≤5+2

6

．
综上：0≤a≤5+2

6

．
故答案为：[0，5+2

6

]．

点评：本题是新定义题，体现了数学转化思想方法，考查利用导数研究曲线上某点处的切线方程，考查了函数的单调性与其导函数符号间的关系，解答此题的关键是对题意的理解，是中档题．