Question

当a＜0时，函数m（t）=

1

2

at2+t-a的定义域为[

2

，2]，记函数m（t）的最大值为g（a）．
（1）求g（a）的解析式；
（2）试求满足g(a)＞g(

1

a

)的所有实数a的值．

Answer 1

考点：函数的最值及其几何意义

专题：分类讨论,数形结合法

分析：（1）二次函数含参讨论单调性，利用性质和单调性解题，（2）利用分类讨论的数学思想求解

解答： 解：（1）a＜0，函数图象开口向上，关于直线t=-

1

a

对称
  当-

1

a

≤

2

即a≤-

2

2

时，函数在[

2

，2]上单调递减，最大值g（a）=m（

2

）=

2

，
  当

2

＜-

1

a

＜2即-

2

2

＜a＜-

1

2

时，最大值g（a）=m（-

1

a

）=-

1

2a

-

1

a

，
  当-

1

a

≥2即-

1

2

≤a＜0时，函数在[

2

，2]上单调递增，最大值g（a）=m（2）=a+2，
综上，g（a）=

2                 a≤- 2 2 - 1 2a -a       - 2 2 ＜a＜- 1 2 a+2              - 1 2 ≤a＜0

（2）当 a≤-

2

2

时，函数为常函数，不满足题意，
当-

2

2

＜a＜-

1

2

时，得-

1

2a

-a＞-

1

2× 1 a

-

1

a

化简得

1-a2

2a

＞0由a＜0得a＜-1
当-

1

2

≤a＜0时，得a+2＞

1

a

+2化简得

a2-1

a

＞0由a＜0得-1＜a＜0
综上，a＜0且a≠-1

点评：注意分类讨论和函数思想的应用