Question

已知函数f（x）=e^x，g（x）=ax²+bx+1（a，b∈R）．
（Ⅰ）当a≠0时，若曲线y=f（x）与y=g（x）在x=0出有相同的切线，求b的值；
（Ⅱ）当a=0时，若f（x）≥g（x）对任意的x∈R恒成立，求b的取值范围．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究曲线上某点切线方程

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）当a≠0时，求出曲线y=f（x）与y=g（x）在x=0处的切线方程，即可求b的值；
（Ⅱ）当a=0时，φ（x）=f（x）-g（x）=e^x-bx-1，所以φ'（x）=e^x-b，分类讨论，确定函数的单调性，即可求b的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）因为f'（x）=e^x，所以f'（0）=1，又f（0）=1，
得y=f（x）在x=0处的切线方程为y=x+1，…（2分）
又因为g'（x）=2ax+b，所以g'（0）=b，又g（0）=1，
得y=g（x）在x=0处的切线方程为y=bx+1，
因为曲线y=f（x）与y=g（x）在x=0处有相同的切线，所以b=1．…（4分）
（Ⅱ）由a=0，则φ（x）=f（x）-g（x）=e^x-bx-1，所以φ'（x）=e^x-b，
（i）当b≤0时，φ'（x）＞0，函数φ（x）在R上单调递增，
又φ（0）=0，所以当x∈（-∞，0）时，φ（x）＜0，与函数f（x）≥g（x）矛盾，…（6分）
（ii）当b＞0时，由φ'（x）＞0，得x＞lnb；由φ'（x）＜0，得x＜lnb，
所以函数φ（x）在（-∞，lnb）上单调递减，在（lnb，+∞）上单调递增，…（8分）
①当0＜b＜1时，lnb＜0，又φ（0）=0，φ（lnb）＜0，与函数f（x）≥g（x）矛盾；
②当b＞1时，同理φ（lnb）＜0，与函数f（x）≥g（x）矛盾；
③当b=1时，lnb=0，所以函数φ（x）在（-∞，0）上单调递减，在（0，+∞）上单调递增，φ（x）≥φ（0）=0，故b=1满足题意．
综上所述，b的取值的范围为{1}．…（12分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值，考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．