Question

已知函数f（x）=log_a（x+1），g（x）=log_a（1-x），其中a＞0且a≠1
（Ⅰ）判断函数f（x）+g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）求使f（x）＜g（x）成立的x的取值范围．

Answer 1

考点：函数奇偶性的判断,对数值大小的比较

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）根据函数奇偶性的定义即可判断函数f（x）+g（x）的奇偶性；
（Ⅱ）根据对数函数的单调性即可解不等式f（x）＜g（x）．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）+g（x）=log_a（x+1）+log_a（1-x），
由

x+1＞0 1-x＞0

，解得-1＜x＜1，即函数的定义域为（-1，1），
设F（x）=f（x）+g（x），
则F（-x）=f（-x）+g（-x）=log_a（-x+1）+log_a（1+x）=f（x）+g（x）=F（x），
即函数f（x）+g（x）是偶函数；
（Ⅱ）由f（x）＜g（x）得log_a（x+1）＜log_a（1-x），
若a＞1，则

x+1＞0 1-x＞0 x+1＜1-x

，即

x＞-1 x＜1 x＜0

，即-1＜x＜0，
若0＜a＜1，则

x+1＞0 1-x＞0 x+1＞1-x

，即

x＞-1 x＜1 x＞0

，即0＜x＜1，
故若a＞1，不等式的解集为（-1，0），
若0＜a＜1，不等式的解集为（0，1）．

点评：本题主要考查函数奇偶性的判断以及对数不等式的求解，根据对数函数的单调性是解决本题的关键．