Question

已知函数f（x）是定义在[-e，e]上的奇函数，当x∈（0，e]时f（x）=ax+2lnx（a∈R）．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）是否存在实数a，使得当x∈[-e，0）时，函数f（x）的最小值是4？如果存在，求出a的值，如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值

专题：导数的综合应用

分析：（Ⅰ）要求f（x）解析式，需求出x∈[-e，0]上的解析式，所以设x∈[-e，0），-x∈（0，e]，根据f（x）是奇函数及在（0，e]上的解析式，便可求出f（-x）=-ax+2ln（-x）=-f（x），这样即可求出f（x）在[-e，0）上的解析式，又f（0）=0，所以可以写出f（x）的解析式；
（Ⅱ）对x∈[-e，0）上的解析式求导，f′（x）=0时，x=

2

a

，所以讨论

2

a

和区间[-e，0）的关系：

2

a

≤-e，即a≤-

2

e

时，判断f′（x）在[-e，0）上的符号大于0，从而判断出函数f（x）在[-e，0）上的单调递增，f（x）的最小值为f（-e）=-ae-2=4，所以a=-

6

a

＜-

2

e

，即这种情况不存在；-e＜

2

a

＜0，即a＜-

2

e

，容易判断出x=

2

e

时f（x）取最小值f（

2

e

）=2-2ln(-

2

a

)，求出a=-2e＜-

2

e

，即存在a=-2e使得当x∈[-e，0）时，函数f（x）的最小值是4．

解答： 解：（Ⅰ）设x∈[-e，0），则-x∈（0，e]；
∴f（-x）=-ax+2ln（-x）=-f（x）；
∴f（x）=ax-2ln（-x）；
∵f（x）是奇函数，∴f（0）=0；
∴函数f（x）的解析式为：f(x)=

ax-2ln(-x) x∈[-e，0) 0 x=0 ax+2lnx x∈(0，e]

；
（Ⅱ）假设存在这样的a，使得当x∈[-e，0）时，f（x）=ax-2ln（-x）有最小值4；
∵f′（x）=a-

2

x

=

ax-2

x

，x∈[-e，0）；
①当

2

a

≤-e，即-

2

e

≤a＜0，则ax-2≤0，x＜0，∴f′（x）≥0；
∴f（x）是[-e，0）上的增函数，∴f（x）_min=f（-e）=-ae-2=4，解得a=-

6

e

＜-

2

e

，∴这种情况不存在；
②当-e＜

2

a

＜0，即a＜-

2

e

，则x∈[-e，

2

a

）时，ax-2＞0，x＜0，∴f′（x）＜0，x∈(

2

a

，0)时，ax-2＜0，x＜0，∴f′（x）＞0；
∴x=

2

a

时，f(x)min=f(

2

a

)=2-2ln(-

2

a

)=4，解得 a=-2e；
综上得，存在实数a=-2e，使得当x∈[-e，0）时，f（x）的最小值是4．

点评：考查求函数解析式的方法，奇函数的定义，函数导数符号和函数单调性的关系，函数最值的概念及求法．