Question

过点P（-4，0）的直线l与曲线C：x²+2y²=4交于A，B两点；则AB中点Q的轨迹方程为（　　）

• A、（x+2）²+2y²=4
• B、（x+2）²+2y²=4（-1＜x≤0）
• C、x²+2（y+2）²=4
• D、x²+2（y+2）²=4（-1＜x≤0）

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：设出A，B，Q的坐标，把A，B的坐标代入曲线C：x²+2y²=4，由点差法得到AB所在直线的斜率，结合PQ的斜率得答案．

解答： 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），Q（x，y），
则x₁+x₂=2x，y₁+y₂=2y，

x12+2y12=4 x22+2y22=4

，
∴x22-x12=-2(y22-y12)，
整理得：

y2-y1

x2-x1

=

1

2

•

x2+x1

y2+y1

．
∴kAB=-

x

2y

，
∴kPQ=

y

x+4

=-

x

2y

，
得：（x+2）²+2y²=4．
∴AB中点Q的轨迹方程为（x+2）²+2y²=4（-1＜x≤0）．
故选：B．

点评：本题考查了轨迹方程的求法，训练了“点差法”，是中档题．