Question

设函数f（x）=x（1+x）²，x∈（-∞，0]，
（1）求f（x）的极值点；
（2）对任意的a＜0，以F（a）记f（x）在[a，0]上的最小值，求k=

F(a)

a

的最小值．

Answer 1

考点：利用导数求闭区间上函数的最值,利用导数研究函数的极值

专题：计算题,导数的综合应用

分析：（1）求导f′（x）=（1+x）²+2x（1+x）=（1+x）（1+3x）；从而确定函数的单调性及极值点；
（2）由（1）判断f（x）在[a，0]上的单调性，从而求f（x）在[a，0]上的最小值，从而得到F（a），从而求得k=

F(a)

a

，再求最小值．

解答： 解：（1）f′（x）=（1+x）²+2x（1+x）=（1+x）（1+3x）；
由f′（x）=0解得：x₁=-1，x₂=-

1

3

；
当x＜-1或x＞-

1

3

时，f′（x）＞0；
当-1＜x＜-

1

3

时，f′（x）＜0；    
所以，f（x）有两个极值点：
x₁=-1是极大值点，f（-1）=0；
x₂=-

1

3

是极小值点，f（-

1

3

）=-

4

27

．
（2）过点（-

1

3

，-

4

27

）做直线y=-

4

27

，与y=f（x）的图象的另一个交点为A（x，-

4

27

），
则-

4

27

=x（1+x）²，即27x³+54x²+27x+4=0；
已知有解x=-

1

3

，则（3x+1）（9x²+15x+4）=0；
解得A（-

4

3

，-

4

27

）；
当a＜-

4

3

时，F（a）=f（a）；k=

f(a)

a

=（1+a）²＞

1

9

；
当-

4

3

≤a≤-

1

3

时，F（a）=-

4

27

，k=

- 4 27

a

≥

- 4 27

- 4 3

=

1

9

，
其中当a=-

4

3

时，k=

1

9

；    
当-

1

3

＜a＜0时，F（a）=f（a），k=

f(a)

a

=（1+a）²＞

1

9

；
所以，对任意的a＜0，k的最小值为

1

9

；
（其中当a=-

4

3

时，k=

1

9

）．

点评：本题考查了导数的综合应用及分类讨论的数学思想，属于中档题．