Question

9．从某居民区随机抽取10个家庭，获得第i个家庭的月收入x_i（单位：千元）与月储蓄y_i（单位：千元）的数据资料，算得$\sum_{i=1}^{10}{x_i}$=80，$\sum_{i=1}^{10}{y_i}$=20，$\sum_{i=1}^{10}{{x_i}{y_i}}$=184，$\sum_{i=1}^{10}{x_i^2}$=720．
（1）求家庭的月储蓄y对月收入x的线性回归方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$时，并判断变量x与y之间是正相关还是负相关；
（2）若该居民区某家庭月收入为7千元，预测该家庭的月储蓄．

Answer 1

分析 （1）利用公式求出$\hat{b}$，$\hat{a}$，即可得出结论．变量y的值随x的值增加可判断正相关还是负相关．
（2）当x=7时带入，即可预测该家庭的月储蓄．

解答 解：（1）由题意知n=10，
$\overline x=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{x_i}=\frac{80}{10}=8，\overline y=\frac{1}{n}\sum_{i=1}^n{y_i}$=$\frac{20}{10}=2$
$\begin{array}{l}{l_{xx}}=\sum_{i=1}^n{x_i^2}-n{\overline x^2}=720-10×{8^2}=80$
${l_{xy}}=\sum_{i=1}^n{x_i}{y_i}-n\overline x\overline y=184-10×8×2=24\end{array}$
由此得$\hat{b}$=$\frac{{{l_{xy}}}}{lxx}=\frac{24}{80}=0.3$，
$\hat{a}$=$\overline y$-$\hat{b}$$\overline x$=2-0.3×8=-0.4，
故所求回归方程为 y=0.3x-0.4．
由于变量y的值随x的值增加而增加（b=0.3＞0），故x与y之间是正相关．
（2）将x=7代入回归方程y=0.3x-0.4．
可得：y=0.3×7-0.4=1.7（千元）
可以预测该家庭的月储蓄为y=0.3×7-0.4=1.7（千元）

点评 本题考查线性回归方程的求法，考查最小二乘法，属于基础题．