Question

4．函数f（x）=x²+ax+3，已知不等式f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}．
（1）求a；
（2）若不等式f（x）≥m的解集是R，求实数m的取值范围；
（3）若f（x）≥nx对任意的实数x≥1成立，求实数n的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据二次函数根与系数的关系求出a的值即可；
（2）求出函数的解析式，根据二次函数的性质求出f（x）的最小值，从而求出m的范围即可；
（3）问题转化为x+$\frac{3}{x}$-4≥n对任意的实数x≥1都成立，令g（x）=x+$\frac{3}{x}$-4，x≥1，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出n的范围即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=x²+ax+3，
且f（x）＜0的解集为{x|1＜x＜3}，
∴a=-4；
（2）由（1）得：f（x）=x²-4x+3，
∴f（x）=（x-2）²-1，
∴f（x）最小值为-1，
∴不等式f（x）≥m的解集为R，
实数m的取值范围为m≤-1；
（3）∵f（x）≥nx对任意的实数x≥1都成立，
即x²-4x+3≥nx对任意的实数x≥1都成立，
两边同时除以x得到：x+$\frac{3}{x}$-4≥n对任意的实数x≥1都成立，
令g（x）=x+$\frac{3}{x}$-4，x≥1，
g′（x）=1-$\frac{3}{{x}^{2}}$=$\frac{（x+\sqrt{3}）（x-\sqrt{3}）}{{x}^{2}}$，
令g′（x）＞0，解得：x＞$\sqrt{3}$，令g′（x）＜0，解得：x＜$\sqrt{3}$，
故g（x）在[1，$\sqrt{3}$）递减，在（$\sqrt{3}$，+∞）递增，
故g（x）_min=g（$\sqrt{3}$）=-4+2$\sqrt{3}$，
故n≤g（x）_min=-4+2$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了二次函数的性质，考查函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．