Question

17．已知函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cos2x-m，x∈R，且f（x）的最大值为1．
（1）求m的值；
（2）求f（x）的周期以及单调递增区间．

Answer 1

分析 （1）将函数f（x）化简为y=Asin（ωx+φ）的形式，结合三角函数的图象和性质，求出f（x）的取值最大值，可得m的值．
（2）利用周期公式求函数的最小正周期，最后将内层函数看作整体，放到正弦函数的增区间上，解不等式得函数的单调递增区间；

解答 解：（1）函数f（x）=sin（2x+$\frac{π}{3}$）+sin（2x-$\frac{π}{3}$）+$\sqrt{3}$cos2x-m，x∈R，
化简得：f（x）=sin2x+$\sqrt{3}$cos2x-m，
=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-m．
∵f（x）的最大值为1．即2-m=1，
解得：m=1．
（2）由（1）可得f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$）-1．
最小正周期T=$\frac{2π}{ω}=\frac{2π}{2}=π$，
∵正弦函数的单调增区间为[2kπ$-\frac{π}{2}$，2kπ$+\frac{π}{2}$]，（k∈Z）
可得：2kπ$-\frac{π}{2}$≤2x+$\frac{π}{3}$2kπ$+\frac{π}{2}$，
解得：kπ$-\frac{5π}{12}$≤x≤kπ$+\frac{π}{12}$．
∴函数f（x）的单调递增区间为[kπ$-\frac{5π}{12}$，kπ$+\frac{π}{12}$]（k∈Z）．

点评 本题主要考查三角函数的图象和性质，利用三角函数公式将函数进行化简是解决本题的关键．