Question

7．若函数f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+blnx在区间[1，2]不单调，则b的取值范围是（　　）

• A． （-∞，1]
• B． [4，+∞）
• C． （-∞，-1]∪[4，+∞）
• D． （-1，4）

Answer 1

分析 先利用导数求出函数单调性时b的取值范围，再利用补集的思想求出函数f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+blnx在区间[1，2]不单调时，b的取值范围．

解答 解：f′（x）=-x+$\frac{b}{x}$，当f′（x）=-x+$\frac{b}{x}$≥0在[1.2]恒成立时，即b≥x²在[1.2]恒成立，b≥（x²）_max，
     即b≥4时f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+blnx在区间[1，2]上单调增；
  当f′（x）=-x+$\frac{b}{x}$≤0在[1.2]恒成立时，即b≤（x²）min在[1.2]恒成立，
   即 b≤1时，f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+blnx在区间[1，2]上单调减，
  所以再利用补集的思想函数f（x）=-$\frac{1}{2}$x²+blnx在区间[1，2]不单调时，b的取值范围为（-1，4），
  故选D．

点评 本题考查了已知函数单调性，求参数取值范围的基本方法，并用了“正难则反”的补集的思想，属于中档题．