Question

9．两个半径都是1的球O₁和球O₂相切，且均与直二面角α-l-β的两个半平面都相切，另有一个半径为γ（γ＜1）的小球O与这二面角的两个半平面也都相切，同时与球O₁和球O₂都外切，则γ的值为3-$\sqrt{7}$．

Answer 1

分析 两个单位立方体构成直二面角，建立空间坐标系，利用向量法能求出结果．

解答 解：如图为两个单位立方体构成，图中的左侧面和底面构成题目中的直二面角，

O₁、O₂为单位球的球心，小球O在MN上．
设OH=r，则有：OO₁=OO₂=r+1，才能满足外切条件．
如图，为M为原点建立空间坐标系，各点坐标为：
O （r，0，r），O₂（1，1，1）
∴OO₂²=（1+r）²，（1-r）²+1+（1-r）²=（1+r）²，
解得：r=3±$\sqrt{7}$，
其中r=3-$\sqrt{7}$为符合题意的解．
∴r=3-$\sqrt{7}$．
故答案为：3-$\sqrt{7}$．

点评 本题考查小球半径的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．