Question

如图为函数，f（x）=Asin（ωx+φ）+k（A＞0，K≠0，ω＞0，|φ|＜

π

2

）的图象的一部分．

（Ⅰ）求f（x）的解析式及f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）求f（1）+f （2）+f（3）+…f（2008）的值．

Answer 1

考点：由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（I）根据函数的图象，求出A、k、T的值，从而求出f（x）的解析式以及单调增区间；
（Ⅱ）由函数f（x）的周期是4，求出f（1）、f（2）、f（3）、f（4）的值，即可求出f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）的值．

解答： 解：（I）由图象知，A=

2-0

2

=1，k=

2+0

2

=1，
且

T

2

=3-1=2，
∴T=4；
∴ω=

2π

T

=

2π

4

=

π

2

，
∴f（x）=sin（

π

2

x+φ）+1；
又∵函数图象过点（0，1），
∴1=sinφ+1，
∴sinφ=0，又|φ|＜

π

2

，∴φ=0；
∴f（x）=sin

π

2

x+1；
由-

π

2

+2kπ≤

π

2

x≤

π

2

+2kπ （k∈Z）得，
-1+4k≤x≤1+4k，
∴f（x）的单调递增区间为[-1+4k，l+4k]（k∈Z）；
（Ⅱ）∵函数f（x）=sin

π

2

x+1的周期是T=4，
且f（1）=1+1=2，f（2）=0+1=1，f（3）=-1+1=0，f（4）=0+1=1；
∴f（1）+f（2）+f（3）+f（4）=2+l+0+1=4；
即f（1）+f（2）+f（3）+…+f（2008）=502×4=2008．

点评：本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，也考查了应用图象分析问题、解决问题的能力，是基础题目．