Question

在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，A=60°，a=

13

．
（1）若S_△ABC=

3

，求b，c的值；
（2）若△ABC是锐角三角形时，求b+c的取值范围．

Answer 1

考点：余弦定理,正弦定理

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形

分析：（1）运用三角形的面积公式，得到bc=4，再由余弦定理，得到13=b²+c²-bc，解出b，c即可；
（2）运用正弦定理，得到b+c=

2 39

3

(sinB+sinC)=2

13

sin(C+

π

6

)，再由C的范围，即可得到b+c的取值范围．

解答： 解：（1）S_△ABC=

1

2

bcsinA=

1

2

bcsin60°=

3

4

bc=

3

，则bc=4，
又a²=b²+c²-2bccos60°，即13=b²+c²-bc，
∴

b=1 c=4

或

b=4 c=1

．    
（2）∵

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

2 39

3

，
∴b+c=

2 39

3

（sinB+sinC）=

2 39

3

[sinC+sin（

2π

3

-C）]
=

2 39

3

（

3

2

sinC+

3

2

cosC）=2

13

sin（C+

π

6

），
∵△ABC是锐角三角形，∴

π

6

＜C＜

π

2

，则

π

3

＜C+

π

6

＜

2π

3

，
故

3

2

＜sin(C+

π

6

)≤1，
∴b+c的取值范围是（

39

，2

13

]．

点评：本题考查正弦定理和余弦定理及三角形的面积公式的运用，考查运算能力，属于基础题．