Question

函数f（x）的定义域为D={x|x≠0}，且满足对于任意的x₁，x₂∈D，有f（x₁•x₂）=f（x₁）+f（x₂）．
（1）求f（1）和f（-1）的值；
（2）判断f（x）的奇偶性并证明你的结论；
（3）如果f（4）=1，f（x-1）＜2，且f（x）在（0，+∞）上是增函数，求x的取值范围．

Answer 1

考点：抽象函数及其应用

专题：计算题,函数的性质及应用

分析：（1）令x₁=x₂=1，即可得f（1）；令x₁=x₂=-1，即可得到f（-1）；
（2）由定义域关于原点对称，可令x₁=x，x₂=-1，即可得到f（-x）=f（x），即为偶函数；
（3）令x₁=x₂=4，求得f（16）=2．再由单调性得到|x-1|＜16，解出即可．

解答： 解：（1）令x₁=x₂=1，得f（1）=2f（1），则f（1）=0，
令x₁=x₂=-1，则f（1）=2f（-1）=0，即f（-1）=0；
（2）f（x）为偶函数．由于f（x）的定义域为D={x|x≠0}，
可令x₁=x，x₂=-1，则f（-x）=f（x）+f（-1）=f（x），故f（x）为偶函数．
（3）由于f（4）=1，则f（16）=2f（4）=2．
f（x-1）＜2即为f（x-1）＜f（16）．
由于f（x）在（0，+∞）上是增函数，
则0＜|x-1|＜16，解得-15＜x＜17且x≠1．
故x的取值范围是（-15，1）∪（1，17）．

点评：本题考查抽象函数及运用，考查函数的奇偶性和单调性及运用，考查解决抽象函数的常用方法：赋值法，属于中档题．