Question

如图所示，平面ABCD⊥平面ABEF，ABCD是正方形，ABEF是矩形，且AF=

2

AD=2

2

，G是EF的中点．
（1）求证：平面AGC⊥平面BGC；
（2）求三棱锥A-GBC的体积．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,棱柱、棱锥、棱台的体积

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）由已知得AG=BG=2，AG⊥BG，BC⊥平面ABEF，由此能证明平面AGC⊥平面BGC．
（2）由V_A-GBC=V_C-ABG，利用等积法能求出三棱锥A-GBC的体积．

解答： （1）证明：∵G是矩形ABEF的边EF的中点，
∴AG=BG=2，
从而得AG²+BG²=AB²，
∴AG⊥BG，
又∵平面ABCD⊥平面ABEF，平面ABCD∩平面ABEF=AB，
且BC⊥AB，
∴BC⊥平面ABEF，
∵AG?平面ABEF，∴BC⊥AG，
∵BC∩BG=B，∴AG⊥平面BGC，
∵AG?平面AGC，∴平面AGC⊥平面BGC．
（2）解：由（1）得BC⊥平面ABEF，
∴CB是三棱锥A-GBC的高，
∴三棱锥A-GBC的体积V_A-GBC=V_C-ABG=

1

3

×

1

2

×2×2×2

2

=

4 2

3

．

点评：本题考查平面与平面垂直的证明，考查三棱锥的体积的求法，是中档题，解题时要注意空间思维能力的培养．