Question

15．已知S_n为正项数列{a_n}的前n项和，且满足$2{S_n}={a_n}^2+{a_n}（n∈{N^*}）$．
（1）求出a₁，a₂，a₃，a₄，
（2）猜想{a_n}的通项公式并给出证明．

Answer 1

分析 （1）根据S_n=2n-a_n，利用递推公式，求出a₁，a₂，a₃，a₄．
（2）由a₁=S₁，a_n=S_n-S_n-1，化简整理，即可得到所求；

解答 解：（1）由S_n=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n（n∈N₊）．
可得a₁=$\frac{1}{2}$a₁²+$\frac{1}{2}$a₁，解得a₁=1，S₂=a₁+a₂=$\frac{1}{2}$a₂²+$\frac{1}{2}$a₂，解得a₂=2，
同理a₃=3，a₄=4，
（2）由（1）猜想a_n=n．
证明：由S_n=$\frac{1}{2}$a_n²+$\frac{1}{2}$a_n①
当n≥2时，S_n-1=$\frac{1}{2}$a_n-1²+$\frac{1}{2}$a_n-1，②
①-②得（a_n-a_n-1-1）（a_n+a_n-1）=0，
∵a_n+a_n-1≠0，∴a_n-a_n-1=1，又a₁=1，
故数列{a_n}是首项a₁=1，公差d=1的等差数列，故a_n=n．

点评 本题考查了数列的递推公式，考查了学生的运算能力和转化能力，属于中档题．