Question

3．已知函数$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+sin（2x-\frac{π}{6}）+cos2x+1$
（1）求函数f（x）的对称中心和函数的单调递增区间；
（2）已知△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$f（A）=3，B=\frac{π}{4}，a=\sqrt{3}$，求AB．

Answer 1

分析 （1）利用三角函数恒等变换的应用化简可得f（x）=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，令$2x+\frac{π}{6}=kπ$即可解得对称中心，由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，解得函数f（x）的单调递增区间．
（2）由已知可求2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=3，进而解得$sin（2A+\frac{π}{6}）=1$，解得A的值，利用两角和的正弦函数公式可求sinC，利用正弦定理可求c的值．

解答 解：（1）$f（x）=sin（2x+\frac{π}{6}）+sin（2x-\frac{π}{6}）+cos2x+1$=$\sqrt{3}sin2x+cos2x+1$=$2sin（2x+\frac{π}{6}）+1$，
令$2x+\frac{π}{6}=kπ$⇒$x=-\frac{π}{12}+\frac{kπ}{2}，（k∈Z）$，
∴对称中心为（-$\frac{π}{12}$+$\frac{kπ}{2}$，1），（k∈Z），
要使f（x）函数的单调递增，可得：$2kπ-\frac{π}{2}≤2x+\frac{π}{6}≤2kπ+\frac{π}{2}$，
∴$kπ-\frac{π}{3}≤x≤kπ+\frac{π}{6}（k∈Z）$，
故函数f（x）的单调递增区间$[kπ-\frac{π}{3}，kπ+\frac{π}{6}]（k∈Z）$，
（2）∵$f（x）=2sin（2x+\frac{π}{6}）+1\;，\;\;f（A）=3$，
∴2sin（2A+$\frac{π}{6}$）+1=3，
$sin（2A+\frac{π}{6}）=1$，
$又\frac{π}{6}＜2A+\frac{π}{6}＜\frac{13π}{6}$，
∴2A+$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，可得：A=$\frac{π}{6}$，
∴sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sin（$\frac{π}{6}$+$\frac{π}{4}$）=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{4}$，
∴由正弦定理$\frac{a}{sinA}=\frac{c}{sinC}$，可得：$\frac{{\sqrt{3}}}{{\frac{1}{2}}}=\frac{c}{{\frac{{\sqrt{6}+\sqrt{2}}}{4}}}$，可求AB=c=$\frac{3\sqrt{2}+\sqrt{6}}{2}$．

点评 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，两角和的正弦函数公式，正弦定理，正弦函数的图象和性质的综合应用，考查了转化思想和数形结合思想，属于中档题．