Question

14．已知函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x≤1\\-{x^2}+2mx-2m+1，x＞1\end{array}$，且对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f（x）-a=0都有四个不相等的实根x₁，x₂，x₃，x₄，则x₁+x₂+x₃+x₄的取值范围是（　　）

• A． （2，4]
• B． （-∞，0]∪[4，+∞）
• C． [4，+∞）
• D． （2，+∞）

Answer 1

分析 利用分段函数，分析出m的范围，然后利用数形结合求解选项即可．

解答 解：函数f（x）=$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{1-{x^2}}，x≤1\\-{x^2}+2mx-2m+1，x＞1\end{array}$，可知x≤1时，函数是圆的上半部分，函数的最大值为1，
x＞1时，f（x）=-x²+2mx-2m+1，的对称轴为x=m，开口向下，对于任意实数a∈（0，1）关于x的方程f（x）-a=0都有四个不相等的实根x₁，x₂，x₃，x₄，则x＞1时，函数的最大值中的最小值为1，此时m≥2，
在平面直角坐标系中，画出函数y=f（x）与y=a的图象如图：
x₁+x₂=0，x₃+x₄≥2m≥4，
则x₁+x₂+x₃+x₄的取值范围是[4，+∞）．
故选：C．

点评 本题考查分段函数的应用，考查函数与方程的应用，函数的图象，以及分析问题解决问题的能力，是难度比较大的题目．