Question

19．如图所示的几何体中，四边形CDEF为正方形，四边形ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AC=$\sqrt{3}$，AB=2BC=2，AC⊥FB．
（1）求证：AC⊥DE；
（2）求点C到平面BDF的距离．

Answer 1

分析 （1）证明AC⊥平面FBC，可得所以AC⊥CF，利用AC∥DE，证明：AC⊥DE；
（2）由V_C-BDF=V_F-CBD，求点C到平面BDF的距离．

解答 （1）证明：在△ABC中，因为AC=$\sqrt{3}$，AB=2，BC=1，则AB²=AC²+BC²，
所以AC⊥BC，…（2分）
又因为AC⊥FB，且FB∩BC=B，所以AC⊥平面FBC．…（4分）
所以AC⊥CF，
又因为AC∥DE，
所以AC⊥DE…（6分）
（2）解：因为AC⊥平面FBC，所以AC⊥FC．
因为CD⊥FC，且CD∩AC=C，
所以FC⊥平面ABCD．…（7分）
则FC为四面体F-BCD的高，在等腰梯形ABCD中可得CB=DC=1，
所以FC=1，所以△BCD的面积为S=$\frac{\sqrt{3}}{4}$
所以四面体F-BCD的体积为V_F-BCD=$\frac{1}{3}$S•FC=$\frac{\sqrt{3}}{12}$．…（9分）
又因为$DF=BF=\sqrt{2}，BD=AC=\sqrt{3}$，所以${S_{△BDF}}=\frac{{\sqrt{15}}}{4}$
由V_C-BDF=V_F-CBD，得点C到平面BDF的距离为$\frac{{\sqrt{5}}}{5}$…（12分）

点评 本题考查平面和平面垂直的判定和性质以及点到面的距离和三棱锥的体积计算公式．是对立体几何知识的综合考查．