Question

3．已知{a_n}为等差数列，S_n为数列{a_n}的前n项和，已知S₇=7，S₁₅=75，
（1）求数列{a_n}的首项a₁及公差为d；
（2）证明：数列$\left\{{\frac{S_n}{n}}\right\}$为等差数列并求其前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其求和公式即可得出．
（2）利用等差数列的定义通项公式及其求和公式即可得出．

解答 （1）解：∵S₇=7，S₁₅=75，∴$\left\{\begin{array}{l}{7{a}_{1}+\frac{7×6}{2}d=7}\\{15{a}_{1}+\frac{15×14}{2}d=75}\end{array}\right.$，
解得a₁=-2，d=1．
（2）证明：由（1）得：a_n=-2+（n-1）=n-3．
S_n=$\frac{n（-2+n-3）}{2}$=$\frac{1}{2}{n}^{2}-\frac{5}{2}n$，则$\frac{{S}_{n}}{n}$=$\frac{1}{2}n$-$\frac{5}{2}$．
∴n≥2，$\frac{{S}_{n}}{n}$-$\frac{{S}_{n-1}}{n-1}$=$\frac{1}{2}n$-$\frac{5}{2}$-$\frac{1}{2}（n-1）-\frac{5}{2}$=$\frac{1}{2}$．
故数列{$\frac{{S}_{n}}{n}$}是等差数列，
∴T_n=$-2n+\frac{（n-1）n}{2}×\frac{1}{2}$=$\frac{1}{4}{n}^{2}$-$\frac{9n}{4}$．

点评 本题考查了等差数列的定义通项公式及其求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．