Question

已知函数f（x）=sin2x+2

3

cos²x-

3

-2a（x∈[0，

π

2

]）有唯一的一个零点，则实数a的取值范围是

 

．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,正弦函数的图象

专题：三角函数的图像与性质

分析：利用三角恒等变换可得f（x）=2sin（2x+

π

3

）-2a，由f（x）=0可得sin（2x+

π

3

）=a，x∈[0，

π

2

]⇒

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，利用正弦函数的图象与性质即可求得-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1，进一步即可求得实数a的取值范围．

解答： 解：由f（x）=sin2x+2

3

cos²x-

3

-2a=sin2x+

3

cos2x-2a=2sin（2x+

π

3

）-2a=0，得sin（2x+

π

3

）=a，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴

π

3

≤2x+

π

3

≤

4π

3

，
∴-

3

2

≤sin（2x+

π

3

）≤1．
∵f（x）=sin2x+2

3

cos²x-

3

-2a（x∈[0，

π

2

]）有唯一的一个零点，
∴-

3

2

≤a＜

3

2

或a=1，
∴a∈[-

3

2

，

3

2

）∪{1}．
故答案为：[-

3

2

，

3

2

）∪{1}．

点评：本题考查三角恒等变换，着重考查正弦函数的单调性与最值，考查运算求解能力，属于中档题．