题目内容
如图，在△ABC1中，AO是BC1边上的高，OA=OB=2，OC1=3，将△OAC1沿直线OA翻折成△OAC，若二面角C-OA-B为直二面角，D为四面体OABC外一点，给出下列命题：①存在点D，使四面体ABCD有3个面是直角三角形；
②存在点D，点O在四面体ABCD的外接球球面上；
③不存在点D，使CD与AB垂直并且相等；
④不存在点D，使四面体ABCD是正三棱锥．
其中真命题的序号是
考点：棱柱的结构特征
专题：空间位置关系与距离
分析：①取D为长方体的一个顶点，使得A，B，C是与D相邻的三个顶点，则可使四面体ABCD有3个面是直角三角形；
②由于二面角C-OA-B为直二面角，可得∠BOC=Rt∠，再取同①的点D，使得点O与D为相对的两个长方体的顶点，利用长方体一定有外接球即可得出；
③举反例：取CD⊥AC，CD⊥BC，且CD=AB，则点D使CD与AB垂直并且相等；
④举反例：作△ABD为正三角形，使得CD=AC，则点D使四面体ABCD是正三棱锥．
②由于二面角C-OA-B为直二面角，可得∠BOC=Rt∠，再取同①的点D，使得点O与D为相对的两个长方体的顶点，利用长方体一定有外接球即可得出；
③举反例：取CD⊥AC，CD⊥BC，且CD=AB，则点D使CD与AB垂直并且相等；
④举反例：作△ABD为正三角形，使得CD=AC，则点D使四面体ABCD是正三棱锥．
解答：
解：①取D为长方体的一个顶点，使得A，B，C是与D相邻的三个顶点，则可使四面体ABCD有3个面是直角三角形；
②∵二面角C-OA-B为直二面角，∴∠BOC=Rt∠，再取同①的点D，使得点O与D为相对的两个长方体的顶点，则点O在四面体ABCD的外接球球面上；
③取CD⊥AC，CD⊥BC，且CD=AB，则点D使CD与AB垂直并且相等，因此③不正确；
④作△ABD为正三角形，使得CD=AC，则点D使四面体ABCD是正三棱锥，因此④不正确．
综上可得：只有①②正确．
故答案为：①②．
②∵二面角C-OA-B为直二面角，∴∠BOC=Rt∠，再取同①的点D，使得点O与D为相对的两个长方体的顶点，则点O在四面体ABCD的外接球球面上；
③取CD⊥AC，CD⊥BC，且CD=AB，则点D使CD与AB垂直并且相等，因此③不正确；
④作△ABD为正三角形，使得CD=AC，则点D使四面体ABCD是正三棱锥，因此④不正确．
综上可得：只有①②正确．
故答案为：①②．
点评：本题考查了长方体的性质、四面体的性质、线面垂直的判定与性质，考查了推理能力和空间想象能力，属于中档题．
练习册系列答案
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