Question

5．已知实数a＞0，b＞0，$\sqrt{2}$是4^a与2^b的等比中项，则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$的最小值是（　　）

• A． $\frac{8}{3}$
• B． $\frac{11}{3}$
• C． 8
• D． 4

Answer 1

分析 利用等比中项的性质可得2a+b=1．再利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出．

解答 解：∵实数a＞0，b＞0，$\sqrt{2}$是4^a与2^b的等比中项，∴2=4^a•2^b，∴2a+b=1．
则$\frac{1}{a}+\frac{2}{b}$=（2a+b）$（\frac{1}{a}+\frac{2}{b}）$=4+$\frac{b}{a}$+$\frac{4a}{b}$≥4+2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{4a}{b}}$=8，当且仅当b=2a=$\frac{1}{2}$时取等号．
其最小值是8．
故选：C．

点评 本题考查了等比中项的性质、“乘1法”与基本不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．