Question

15．已知函数F（x）=$\frac{a•{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$，（a为实数）．
（1）根据a的不同取值，讨论函数y=f（x）的奇偶性，并说明理由；
（2）若对任意的x≥1，都有1≤f（x）≤3，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）、根据题意，先求出函数的定义域，易得其定义域关于原点对称，求出F（-x）的解析式，进而分2种情况讨论：①若y=f（x）是偶函数，②若y=f（x）是奇函数，分别求出每种情况下a的值，综合即可得答案；
（2）根据题意，由f（x）的范围，分2种情况进行讨论：f（x）≥1以及f（x）≤3，分析求出每种情况下函数的恒成立的条件，可得a的值，进而综合2种情况，可得答案．

解答 解：（1）函数F（x）=$\frac{a•{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$定义域为R，
且F（-x）=$\frac{a•{2}^{-x}-1}{{2}^{-x}+1}$=$\frac{a-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$，
①若y=f（x）是偶函数，则对任意的x 都有f（x）=f（-x），
即$\frac{a•{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=$\frac{a-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$，即2^x（a+1）=a+1，
解可得a=-1；
②若y=f（x）是奇函数，则对任意的x 都有f（x）=-f（-x），
即$\frac{a•{2}^{x}-1}{{2}^{x}+1}$=-$\frac{a-{2}^{x}}{1+{2}^{x}}$，即2^x（a-1）=1-a，
解可得a=1；
故当a=-1时，y=f（x）是偶函数，
当a=1时，y=f（x）是奇函数，
当a≠±1时，y=f（x）既非偶函数也非奇函数，
（2）由f（x）≥1可得：2^x+1≤a•2^x-1，即$\frac{2}{{2}^{x}}$≤a-1    …（8分）
∵当x≥1时，函数y₁=$\frac{2}{{2}^{x}}$ 单调递减，其最大值为1，
则必有a≥2，
同理，由f（x）≤3 可得：a•2^x-1≤3•2^x+3，即a-3≤$\frac{4}{{2}^{x}}$，
∵当x≥1时，y₂=$\frac{4}{{2}^{x}}$单调递减，且无限趋近于0，
故a≤3，
综合可得：2≤a≤3．

点评 本题考查函数恒成立问题，涉及函数奇偶性的判定与性质，解（2）题的关键在于将恒成立问题转化为最值问题．