Question

7．如图所示，一海岛驻扎一支部队，海岛离岸边最近点B的距离是150km．在岸边距B点300km的点A处有一军需品仓库．有一批军需品要尽快送达海岛．A与B之间有一铁路，现用海陆联运方式运送，火车时速为50km，轮船时速为30km，试在岸边选一点C，先将军需品用火车送到点C，再用轮船从点C运到海岛．问点C选在何处可使运输时间最短？

Answer 1

分析 设BC=xkm，得出运输时间y关于x的函数，利用导数判断函数单调性得出函数的最小值．

解答 解：设BC=xkm，火车运算距离为AC=300-x，轮船运算距离为$\sqrt{15{0}^{2}+{x}^{2}}$，
∴运输时间y=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+15{0}^{2}}}{30}$+$\frac{300-x}{50}$，0≤x≤300，
∴y′=$\frac{x}{30\sqrt{{x}^{2}+15{0}^{2}}}$-$\frac{1}{50}$，令y′=0，则有5x=3$\sqrt{{x}^{2}+15{0}^{2}}$，
解得x=$\frac{225}{2}$或x=-$\frac{225}{2}$（舍），
∴当0$＜x＜\frac{225}{2}$时，y′＜0，当$\frac{225}{2}＜x＜30$时，y′＞0，
∴函数y=$\frac{\sqrt{{x}^{2}+15{0}^{2}}}{30}$+$\frac{300-x}{50}$在[0，$\frac{225}{2}$）上单调递减，在（$\frac{225}{2}$，30]上单调递增，
∴当x=$\frac{225}{2}$时，y取得最小值10．
∴当BC=$\frac{225}{2}$km时，远输时间最短．

点评 本题考查了解三角形与函数模型的应用，函数单调性与最值的计算，属于中档题．