Question

15．在平面直角坐标系xOy中，已知以M为圆心的圆M：x²+y²-12x-14y+60=0及其上一点A（2，4）
（Ⅰ）设平行于OA的直线l与圆M相交于B、C两点，且BC=OA，求直线l的方程；
（Ⅱ）设点T（t，0）满足：存在圆M上的两点P和Q，使得四边形ATPQ为平行四边形，求实数t的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）可设直线l方程为：y=2x+b，可得圆心M（6，7）到直线l的距离为d=$\sqrt{{r}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}=2\sqrt{5}$，即$\frac{2×6-7+b}{\sqrt{{1}^{1}+{2}^{2}}}=±2\sqrt{5}$，解得b．可得直线l的方程；
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），（x₂，y₂），由平行四边形的对角线互相平分，得$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}={x}_{1}+2-t}\\{{y}_{2}={y}_{1}+4}\end{array}\right.$，（x₁-t-4）²+（y${\;}_{1}-3）^{2}$²=25，于是点P（x₁，y₁）既在圆M上，又在圆（x-t-4）²+（y-3）²=25上，从而圆（x-6）²+（y-7）²=25与圆（x-t-4）²+（y-3）²=25上有公共点，即可求解．

解答 解：（Ⅰ）∵k_OA=$\frac{4-0}{2-0}=2$，故平行于OA的直线l方程为：y=2x+b
∵$BC=OA=\sqrt{{2}^{2}+{4}^{2}}=2\sqrt{5}$，∴圆心M（6，7）到直线l的距离为d=$\sqrt{{r}^{2}-（\sqrt{5}）^{2}}=2\sqrt{5}$
即$\frac{2×6-7+b}{\sqrt{{1}^{1}+{2}^{2}}}=±2\sqrt{5}$，解得b=5或-15
故直线l的方程为2x-y+5=0或2x-y-15=0．
（Ⅱ）设P（x₁，y₁），（x₂，y₂），因为平行四边形的对角线互相平分，所以$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{2}={x}_{1}+2-t}\\{{y}_{2}={y}_{1}+4}\end{array}\right.$ …①
因为点Q在圆M上，所以（x₂-6）²+（y₂-7）²=25…．②
将①代入②，得（x₁-t-4）²+（y${\;}_{1}-3）^{2}$²=25．
于是点P（x₁，y₁）既在圆M上，又在圆（x-t-4）²+（y-3）²=25上，
从而圆（x-6）²+（y-7）²=25与圆（x-t-4）²+（y-3）²=25上有公共点，
所以 $5-5≤\sqrt{[（t+4）-6]^{2}+（3-7）^{2}}≤5+5$解得2-2$\sqrt{21}$$≤t≤2+2\sqrt{21}$．
因此，实数t的取值范围是[2-2$\sqrt{21}$，2+2$\sqrt{21}$]．

点评 题考查圆的标准方程的求法，考查直线方程的求法，考查实数的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的合理运用．