Question

15．对于集合A={（x，y）|$\left\{\begin{array}{l}{x+y≤2}\\{x-y≤4}\\{x≥1}\end{array}\right.$}．命题p：至少存在一个点（x₀，y₀）∈A，使得代数式y₀=2${\;}^{{x}_{0}-m}$-1成立，则实数m的取值范围为[1，3]．

Answer 1

分析 画出满足条件的平面区域，显然y=2^x-m-1恒过（m，-1）这个点，问题转化为点（m，-1）在线段AB上即可，从而求出m的范围即可．

解答 解：画出满足条件的平面区域，如图示：
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-1}\\{x=1}\end{array}\right.$得A（1，-1），由$\left\{\begin{array}{l}{x=1}\\{x-y=4}\\{x+y=2}\end{array}\right.$得B（1，3），
连结AB，
显然y=2^x-m-1恒过（m，-1）这个点，
若至少存在一个点（x₀，y₀）∈A，使得代数式y₀=2${\;}^{{x}_{0}-m}$-1成立，
只需（m，-1）在线段AB上即可，
∴1≤m≤3，
故答案为：[1，3]．

点评 本题考查了简单的线性规划问题，问题转化为点（m，-1）在线段AB上是解题的关键，本题是一道中档题．