Question

19．已知F₁、F₂是双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左、右焦点，点P是该双曲线上的任意一点，若△PF₁F₂的内切圆半径为r，则r的取值范围是（　　）

• A． （0，a）
• B． （0，b）
• C． （0，$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$）
• D． （0，$\sqrt{ab}$）

Answer 1

分析 根据题意，利用切线长定理，再利用双曲线的定义，把|PF₁|-|PF₂|=2a，转化为|HF₁|-|HF₂|=2a，从而求得点H的横坐标，即可求出△PF₁F₂的内切圆半径的取值范围．

解答 解：如图所示：F₁（-c，0）、F₂（c，0），
设内切圆与x轴的切点是点H，P在双曲线的右支上
PF₁、PF₂与内切圆的切点分别为M、N，
∵由双曲线的定义可得|PF₁|-|PF₂|=2a，
由圆的切线长定理知，|PM|=|PN|，故|MF₁|-|NF₂ |=2a，
即|HF₁|-|HF₂|=2a，
设内切圆的圆心I横坐标为x，内切圆半径r，则点H的横坐标为x，
故 （x+c）-（c-x）=2a，∴x=a，
设双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线的方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
一条渐近线的倾斜角为2α，则tan2α=$\frac{b}{a}$，
由PF₁的斜率小于渐近线的斜率，
∴$\frac{2•\frac{r}{c+a}}{1-\frac{{r}^{2}}{（c+a）^{2}}}$＜$\frac{b}{a}$，
故2rca+2ra²＜b（c+a）²-br²，
∴r（c+a）²-rb²＜b（c+a）²-br²，
∴（r-b）[br+（a+c）²]＜0，
∴0＜r＜b．
故选B．

点评 本题考查双曲线的定义、切线长定理，体现了转化的数学思想以及数形结合的数学思想，正确运用双曲线的定义是关键．