Question

已知函数f（x）=2sinx（cosx-sinx）+

2

，x∈R．
（1）求函数f（x）的最小正周期和单调增区间；
（2）求函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

6

]上的最小值和最大值；
（3）若x∈（-π，

π

4

]，求使f（x）≥

2

的x取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的图像与性质

分析：（1）利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式化简，进而根据周期公式求得函数的最小正周期，根据三角函数的性质求得函数的单调增区间．
（2）根据x的范围确定2x+

π

4

的范围，进而根据正弦函数的性质求得函数的最大和最小值．
（3）先确定2x+

π

4

的范围，进而根据f（x）≥

2

利用正弦函数的性质求得x的范围．

解答： 解：f（x）=2sinx（cosx-sinx）+

2

=sin2x-（1-cos2x）+

2

=sin2x+cos2x+

2

-1=

2

sin（2x+

π

4

）+

2

-1，
（1）函数f（x）的最小正周期为

2π

2

=π．
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

4

≤2kπ+

π

2

（k∈Z）得，
kπ-

3π

8

≤x≤kπ+

π

8

（k∈Z）．
所以函数f（x）的单调增区间是[kπ-

3π

8

，kπ+

π

8

]（k∈Z）．
（2）因为x∈（-π，

π

4

]，
所以-

π

4

≤2x+

π

4

≤

7π

12

．
所以-

2

2

≤sin（2x+

π

4

≤1．
所以

2

-2≤f（x）≤2

2

-1．
所以函数f（x）在区间[-

π

4

，

π

6

]上的最小值是

2

-2，最大值是2

2

-1．
（3）因为x∈（-π，

π

4

]，所以-

7π

4

＜2x+

π

4

≤

3π

4

．
由f（x）≥

2

得，

2

sin（2x+

π

4

）+

2

-1≥

2

，
所以sin（2x+

π

4

≥

2

2

．
所以-

7π

4

＜2x+

π

4

≤-

5π

4

或

π

4

≤2x+

π

4

≤

3π

4

．
所以-π＜x≤-

3π

4

或0≤x≤

π

4

．
当x∈（-π，

π

4

]时，使f（x）≥

2

的x取值范围是（-π，-

3π

4

]∪[0，

π

4

]．

点评：本题主要考查了三角函数恒等变换的应用，三角函数图象与性质．考好了学生推理和分析能力．