Question

设二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）满足条件：①f（x）=f（-x-2）；②函数f（x）的图象与直线y=x相切．
（Ⅰ）求函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）若不等式π^f（x）＞（

1

π

）^2-tx在|t|≤2时恒成立，求实数x的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题,二次函数的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（Ⅰ）f（x）=f（-x-2）⇒y=f（x）的图象的对称轴方程是x=-1，于是有b=2a，依题意，方程组

y=ax2+bx y=x

有且只有一解，利用△=0即可求得b与a，从而得函数f（x）的解析式；
（Ⅱ）利用指数函数的单调性质，知f（x）＞tx-2在|t|≤2时恒成立，构造函数g（t）=xt-（

1

2

x²+x-2），由

g(-2)＜0 g(2)＜0

即可求得答案．

解答： 解：（Ⅰ）由①可知，二次函数f（x）=ax²+bx（a≠0）图象对称轴方程是x=-1，∴b=2a；
又因为函数f（x）的图象与直线y=x相切，所以方程组

y=ax2+bx y=x

有且只有一解，即方程ax²+（b-1）x=0有两个相等的实根，
∴b=1，a=

1

2

，
所以，函数f（x）的解析式是f（x）=

1

2

x²+x．
（Ⅱ）∵π＞1，∴π^f（x）＞（

1

π

）^2-tx等价于等价于f（x）＞tx-2，
即不等式

1

2

x²+x＞tx-2在|t|≤2时恒成立，…（6分）
问题等价于一次函数g（t）=xt-（

1

2

x²+x-2）在|t|≤2时恒成立，
∴

g(-2)＜0 g(2)＜0

，即

x2-2x+4＞0 x2+6x+4＞0

，
解得：x＜-3-

5

或x＞-3+

5

，
故所求实数x的取值范围是（-∞，-3-

5

）∪（-3+

5

，+∞）．

点评：本题考查函数恒成立问题，着重考查二次函数的性质，突出考查等价转化思想、构造函数思想与方程思想，考查运算求解能力，属于难题．