Question

对于数列{a_n}，把a₁作为新数列{b_n}的第一项，把a_i或-a_i（i=2，3，4，…，n）作为新数列{b_n}的第i项，数列{b_n}称为数列{a_n}的一个生成数列．例如，数列1，2，3，4，5的一个生成数列是1，-2，-3，4，5．已知数列{b_n}为数列{

1

2n

}（n∈N^*）的生成数列，S_n为数列{b_n}的前n项和．
（Ⅰ）写出S₃的所有可能值；
（Ⅱ）若生成数列{b_n}满足S_3n=

1

7

（1-

1

8n

），求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）证明：对于给定的n∈N^*，S_n的所有可能值组成的集合为{x|x=

2k-1

2n

，k∈N^*，k≤2^n-1}．

Answer 1

考点：数列的应用

专题：综合题,等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知，b1=

1

2

，|bn|=

1

2n

(n∈N*，n≥2)，即可写出S₃的所有可能值；
（Ⅱ）生成数列{b_n}满足S_3n=

1

7

（1-

1

8n

），结合{b_n}是{

1

2n

}(n∈N*)的生成数列，即可求数列{b_n}的通项公式；
（Ⅲ）满足条件

1

2n

≤

x

2n

≤

2n-1

2n

的奇数x共有2^n-1个，证明只有当数列{a_n}与数列{b_n}的前n项完全相同时，才有S_n=T_n，可得Sn=

1

2

±

1

22

±

1

23

±…±

1

2n

共有2^n-1种情形，其值各不相同，即可得出结论．

解答： 解：（Ⅰ）由已知，b1=

1

2

，|bn|=

1

2n

(n∈N*，n≥2)，
∴b2=±

1

4

  ，  b3=±

1

8

，
由于

1

2

+

1

4

+

1

8

=

7

8

，

1

2

+

1

4

-

1

8

=

5

8

 ， 

1

2

-

1

4

+

1

8

=

3

8

 ， 

1

2

-

1

4

-

1

8

=

1

8

，
∴S₃可能值为

1

8

 ， 

3

8

 ， 

5

8

 ， 

7

8

．…（3分）
（Ⅱ）∵S3n=

1

7

(1-

1

8n

)，
当n=1时，a1+a2+a3=S3=

1

7

(1-

1

8

)=

1

8

，
当n≥2时，a3n-2+a3n-1+a3n=S3n-S3n-3=

1

7

(1-

1

8n

)-

1

7

(1-

1

8n-1

)=

1

8n

，
∴a3n-2+a3n-1+a3n=

1

8n

，n∈N^*，…（5分）
∵{b_n}是{

1

2n

}(n∈N*)的生成数列，
∴b3n-2=±

1

23n-2

；b3n-1=±

1

23n-1

；b3n=±

1

23n

；
∴b3n-2+b3n-1+b3n=±

1

23n-2

±

1

23n-1

±

1

23n

=

1

8n

(±4±2±1)=

1

8n

(n∈N*)，
在以上各种组合中，
当且仅当b3n-2=

4

8n

 ， b3n-1=-

2

8n

 ， b3n=-

1

8n

(n∈N*)时，才成立．
∴bn=

1 2n  ， n=3k-2 ，  - 1 2n  ， n≠3k-2 .

 (k∈N*)．…（8分）
（Ⅲ）证明：Sn=

1

2

±

1

22

±

1

23

±…±

1

2n

共有2^n-1种情形．

1

2

-

1

22

-

1

23

-…-

1

2n

≤Sn≤

1

2

+

1

22

+

1

23

+…+

1

2n

，即

1

2n

≤Sn≤

2n-1

2n

，
又Sn=

2n-1±2n-2±2n-3±…±1

2n

，分子必是奇数，
满足条件

1

2n

≤

x

2n

≤

2n-1

2n

的奇数x共有2^n-1个．…（10分）
设数列{a_n}与数列{b_n}为两个生成数列，数列{a_n}的前n项和为S_n，数列{b_n}的前n项和为T_n，从第二项开始比较两个数列，设第一个不相等的项为第k项．
由于|ak|=|bk|=

1

2k

，不妨设a_k＞0，b_k＜0，
则

Sn-Tn=(ak+ak+1+…+an)-(bk+bk+1+…+bn)

≤2×

1

2k

-2×(

1

2k+1

+

1

2k+2

+…+

1

2n

)=2×

1

2k

-2×(

1

2k

-

1

2n

)=

1

2n-1

＞0，
所以，只有当数列{a_n}与数列{b_n}的前n项完全相同时，才有S_n=T_n．…（12分）
∴Sn=

1

2

±

1

22

±

1

23

±…±

1

2n

共有2^n-1种情形，其值各不相同．
∴S_n可能值必恰为

1

2n

 ， 

3

2n

 ， 

5

2n

 ， … ， 

2n-1

2n

，共2^n-1个．
即S_n所有可能值集合为{x|x=

2k-1

2n

 ， k∈N* ， k≤2n-1}．…（13分）

点评：本题考查新定义，考查分类讨论的数学思想，考查学生分析解决问题的能力，属于难题．