Question

已知函数f（x）=2cos²（x-

π

4

）-

3

cos2x+1，x∈[

π

4

，

π

2

]
（Ⅰ）求f（x）的最大值和最小值；
（Ⅱ）若对任意实数x，不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，求实数m的取值范围．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）降幂后利用两角差的正弦函数化积，然后利用x的取值范围求得函数的最大值和最小值；
（Ⅱ）不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，转化为m-2＜f（x）＜m+2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，进一步转化为m-2，m+2与函数f（x）在x∈[

π

4

，

π

2

]上的最值的关系，列不等式后求得实数m的取值范围．

解答： 解：（I）f（x）=2cos²（x-

π

4

）-

3

cos2x+1
=cos(2x-

π

2

)-

3

cos2x+2
=sin2x-

3

cos2x+2
=2(

1

2

sin2x-

3

2

cos2x)+2
=2(sin2xcos

π

3

-cos2xsin

π

3

)+2
=2sin(2x-

π

3

)+2．
∵x∈[

π

4

，

π

2

]，∴2x-

π

3

∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴当2x-

π

3

=

π

6

，即x=

π

4

时，f_min（x）=3．
当2x-

π

3

=

π

2

，即x=

5π

12

时，f_max（x）=4；
（II）|f（x）-m|＜2?m-2＜f（x）＜m+2，
∵对任意实数x，不等式|f（x）-m|＜2在x∈[

π

4

，

π

2

]上恒成立，
∴

m-2＜fmin(x) m+2＞fmax(x)

，即

m-2＜3 m+2＞4

，解得：2＜m＜5．
故m的取值范围为（2，5）．

点评：本题考查了三角函数倍角公式，两角差的正弦公式，考查了三角函数最值的求法，考查了数学转化思想方法，关键是把不等式恒成立问题转化为含m的代数式与f（x）的最值关系问题，是中档题．