Question

如图，四棱锥E-ABCD中，平面EAD⊥平面ABCD，DC∥AB，BC⊥CD，EA⊥ED，且AB=4，BC=CD=EA=ED=2．
（Ⅰ）求证：BD⊥平面ADE；
（Ⅱ）求BE和平面CDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）在线段CE上是否存在一点F使得平面BDF⊥平面CDE，请说明理由．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的性质,直线与平面垂直的判定,直线与平面所成的角

专题：综合题,空间位置关系与距离,空间角

分析：（Ⅰ）证明BD⊥AD，利用平面EAD⊥平面ABCD，证明BD⊥平面ADE；
（Ⅱ）建立空间直角坐标系，求出平面CDE的一个法向量，利用向量的夹角公式，即可求BE和平面CDE所成角的正弦值；
（Ⅲ）求出平面BEF一个法向量，利用平面BEF⊥平面CDE，向量的数量积为0，即可得出结论．

解答： （I）证明：由BC⊥CD，BC=CD=2，可得BD=2

2

．
由EA⊥ED，且EA=ED=2，可得AD=2

2

．
又AB=4，所以BD⊥AD．
又平面EAD⊥平面ABCD，平面ADE∩平面ABCD=AD，BD?平面ABCD，
所以BD⊥平面ADE．　　　　　　　　　…（5分）
（II）解：建立空间直角坐标系D-xyz，
则D（0，0，0），B(0，2

2

，0)，C(-

2

，

2

，0)，E(

2

，0，

2

)，

BE

=(

2

，-2

2

，

2

)，

DE

=(

2

，0，

2

)，

DC

=(-

2

，

2

，0)．
设

n

=（x，y，z）是平面CDE的一个法向量，则

x+z=0 -x+y=0.

令x=1，则

n

=（1，1，-1）．
设直线BE与平面CDE所成的角为α，
则sinα=

2

3

所以BE和平面CDE所成的角的正弦值

2

3

．　　　　　　…（10分）
（III）解：设

CF

=λ

CE

，λ∈[0，1]．

DC

=(-

2

，

2

，0)，

CE

=(2

2

，-

2

，

2

)，

DB

=(0，2

2

，0)．
则

DF

=

DC

+

CF

=

DC

+λ

CE

=

2

(2λ-1，-λ+1，λ)．
设

m

=（x'，y'，z'）是平面BEF一个法向量，则

y′=0 (2λ-1)x′+(-λ+1)y′+λz′=0.

令x'=1，则

m

=（1，0，-

2λ-1

λ

）．
若平面BEF⊥平面CDE，则

m

•

n

=0，即1+

2λ-1

λ

=0，λ=

1

3

∈[0，1]．
所以，在线段CE上存在一点F使得平面BEF⊥平面CDE．…（14分）

点评：本题考查线面、面面垂直的判定，考查线面角，正确运用向量知识是关键．