题目内容
如图，某园林公司计划在一块半径为定值R（单位：优）的半圆形土地上种植花木、草皮，其中弓形CMD区域用于种植花草样品供人观赏，△OCD（O为圆心）区域用于种植花木出售，扇形O |
| AC |
|
| BD |
（Ⅰ）若∠COD=
| π |
| 6 |
（Ⅱ）园林公司应如何设计∠COD的大小，才能在这块土地上获取最大收益？
考点：利用导数研究函数的单调性,基本不等式,弧度制的应用
专题：不等式的解法及应用
分析：（Ⅰ）分别求出则△OCD的面积，扇形
的面积，得到弓形CMD的面积，然后求出维护的费用．
（Ⅱ）设∠COD=θ（单位：弧度），利用扇形面积减去三角形的面积，即可求出弓形CMDC的面积S弓=f（θ）；
再设总利润为y元，草皮利润为y1元，花木地利润为y2，观赏样板地成本为y3，求出y的表达式，利用导数确定函数的最大值，得到结果．
|
| OCMD |
（Ⅱ）设∠COD=θ（单位：弧度），利用扇形面积减去三角形的面积，即可求出弓形CMDC的面积S弓=f（θ）；
再设总利润为y元，草皮利润为y1元，花木地利润为y2，观赏样板地成本为y3，求出y的表达式，利用导数确定函数的最大值，得到结果．
解答：
解：（Ⅰ）∵∠COD=
，CO=DO=R，则△OCD的面积为
R2sin
=
，扇形
的面积为
•
R2=
，
∴弓形CMD的面积为
-
=
R2，
∴样品观赏地的维护费用为
R2×12=(π-3)R2．
（Ⅱ）．设∠COD=θ，单位：弧度，S扇形=
Rθ，S△OCD=
R2sinθ，S弓形=f(θ)=
R2(θ-sinθ)
设总利润为y元，草皮利润为y1元，花木地利润为y2，观赏样板地成本为y3，
∴y=y1+y2-y3=18×(
πR2-
R2θ)+48×
R2sinθ-12×
R2(θ-sinθ)=3R2[3π-（5θ-10sinθ）]，
设g（θ）=5θ-10sinθ，θ∈（0，π）
∴g′（θ）=5-10cosθ，
当g′（θ）＜0，cosθ＞
，g（θ）在（θ，
）上为减函数；
当g′（θ）＞0，cosθ＜
，g（θ）在（
，π）上为增函数．
当θ=
时，g（θ）取到最小值，此时总利润最大．
所以当园林公司把扇形的圆心角设计成
时，总利润最大
| π |
| 6 |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| R2 |
| 4 |
|
| OCMD |
| 1 |
| 2 |
| π |
| 6 |
| πR2 |
| 12 |
∴弓形CMD的面积为
| πR2 |
| 12 |
| R2 |
| 4 |
| π-3 |
| 12 |
∴样品观赏地的维护费用为
| π-3 |
| 12 |
（Ⅱ）．设∠COD=θ，单位：弧度，S扇形=
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
设总利润为y元，草皮利润为y1元，花木地利润为y2，观赏样板地成本为y3，
∴y=y1+y2-y3=18×(
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
| 1 |
| 2 |
设g（θ）=5θ-10sinθ，θ∈（0，π）
∴g′（θ）=5-10cosθ，
当g′（θ）＜0，cosθ＞
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
当g′（θ）＞0，cosθ＜
| 1 |
| 2 |
| π |
| 3 |
当θ=
| π |
| 3 |
所以当园林公司把扇形的圆心角设计成
| π |
| 3 |
点评：本题是中档题，考查三角函数的应用题中的应用，三角函数的化简求值，导数的应用，考查计算能力，转化思想的应用
练习册系列答案
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| B、1 | ||||
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| ||||
D、
|
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| ||
C、
| ||
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