Question

已知S_n={A|A=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），a_i=2012或2013，i=1，2，3，…，n}（n≥2），对于U，V∈S_n，d（U，V）表示U，V中相对应的元素不同的个数．
（1）令U=（2013，2013，2013，2013，2013），存在m个V∈S₅，使得d（U，V）=2．则m=

 

；
（2）令U=（a₁，a₂，a₃，…，a_n），若V∈S_n，则所有d（U，V）之和为

 

．

Answer 1

考点：集合的包含关系判断及应用

专题：集合

分析：（1）根据V∈S₅，d（U，V）=2及d（U，V）的意义：表示U和V中相对应的元素不同的个数，可知m=C₅²；
（2）易知S_n中共有2ⁿ个元素，分别记为v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n）b_i=0的v_k共有2^n-1个，b_i=1的v_k共有2^n-1个然后求和即可．

解答： 解：（1）∵V∈S₄，d（U，V）=2，
∴m=C₅²=10，即m=10；
（2）易知S_n中共有2ⁿ个元素，分别记为v_k（k=1，2，3，…，2ⁿ，v=（b₁，b₂，b₃，…b_n），
∵b_i=0的v_k共有2^n-1个，b_i=1的v_k共有2^n-1个．
∴d（U，V）=2^n-1（|a₁-0|+|a₁-1|+|a₂-0|+a₂-1|+|a₃-0|+|a₃-1|+…+|a_n-0|+|a_n-1|=n•2^n-1，
∴d（U，V）=n•2^n-1．
故答案为：10，n•2^n-1

点评：此题是个难题．本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点．题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于S_n的，其实S_n中的元素就是一个n维的坐标，其中每个坐标值都是2012或2013，也可以这样理解，就是一个n位数字的数组，每个数字都只能是2012或2013，第二个定义d（U，V），正确理解这两个定义是解答的关键．