Question

数列{a_n}中，a₁=4，前n项和S_n满足：S_n=a_n+1+n．
（Ⅰ）求a_n；
（Ⅱ）令b_n=

2n-1+1

nan

，数列{b_n²}的前n项和为T_n．求证：?n∈N^*，T_n＜

5

4

．

Answer 1

考点：数列的求和,数列与不等式的综合

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）根据S_n=a_n+1+n，利用a_n=S_n-S_n-1，能求出数列{a_n}的通项a_n．
（Ⅱ）由已知条件推导出b₁=

1

2

，b_n=

1

n

，（n≥2），从而得到当k≥2时，bk2＜

1

k-1

-

1

k

，由此能够证明对于任意的n∈N^*，都有T_n＜

5

4

．

解答： （Ⅰ）解：数列{a_n}中，
∵a₁=4，前n项和S_n满足：S_n=a_n+1+n，
∴当n≥2时，a_n=S_n-S_n-1=a_n+1+n-a_n-（n-1），
∴a_n+1=2a_n-1，a_n+1-1=2（a_n-1），（n≥2），（4分）
又∵a₁=S₁=a₂+1，a₁=4，解得a₂=3，
∴a_n-1=（a₂-1）•2^n-2=2^n-1，
∴a_n=2^n-1+1，n≥2，（6分）
综上，数列{a_n}的通项a_n=

4，n=1 2n-1+1，n≥2

．（7分）
（Ⅱ）证明：∵a_n=

4，n=1 2n-1+1，n≥2

，b_n=

2n-1+1

nan

，
∴b1=

1+1

4

=

1

2

，
b_n=

2n-1+1

n(2n-1+1)

=

1

n

，n≥2，
则当k≥2时，有bk2=

1

k2

＜

1

k(k-1)

=

1

k-1

-

1

k

，（9分）
∴当n≥2时，
Tn=

1

4

+

n

k=2

bk2＜

1

4

+[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n-1

-

1

n

）]
=

1

4

+(1-

1

n

)＜

5

4

．（12分）
又n=1时，T1=b12=

1

4

＜

5

4

，
∴对于任意的n∈N^*，都有T_n＜

5

4

．（14分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法及应用，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．