Question

设数列{3^n-1a_n}的前n项和为S_n，且Sn=

n

3

，a∈N^*．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

n

an

，求数列{b_n}的前n项和T_n．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：（I）由已知条件得到S_n=a1+3a2+32a3+…+3n-1an=

n

3

，求出S_n-1的表达式，两式相减能求出数列{a_n}的通项公式．
（II） 由（Ⅰ）得 bn=n•3n，由此利用错位相减法能求出数列{b_n}的前n项和T_n．

解答： 解：（I）∵数列{3^n-1a_n}的前n项和为S_n，且Sn=

n

3

，a∈N^*，
∴S_n=a1+3a2+32a3+…+3n-1an=

n

3

，①
S_n-1=a1+3a2+32a3+…+3n-2an-1=

n-1

3

(n≥2)，②
①-②得3n-1an=

n

3

-

n-1

3

=

1

3

(n≥2)．
∴an=

1

3n

(n≥2)．…（4分）
经验证n=1时也满足上式，
∴an=

1

3n

(n∈N*)．…（6分）
（II） 由（1）得 bn=n•3n，
Tn=1•3+2•32+3•33+…+n•3n，
3T_n=1•3²+2•3³+…+（n-1）•3ⁿ+n•3ⁿ⁺¹，
两式相减得-2Tn=3+32+33+3n-n•3n+1，…（8分）
∴-2Tn=

3-3n+1

1-3

-n•3n+1
=

3n+1-3

2

-n•3ⁿ⁺¹，
∴Tn=

n

2

•3n+1-

1

4

•3n+1+

3

4

•…（12分）

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意错位相减法的合理运用．